МЕТОД ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
Рассмотрим процедуру парных сравнений и покажем на числовом примере один из возможных вариантов ее применения.
Если сравнение объектов Ai и Аj. производят т экспертов, результаты этой процедуры можно представить в виде матрицы А предпочтений с элементами хij, равными числу случаев, когда Аi предпочтительнее, чем Aj.
Для облегчения этой процедуры составляют матрицы парных сравнений, в которых все объекты (1, 2, ..., n) записываются в одном и том же порядке дважды: в верхней строке и в крайнем левом столбце.
Форма первой матрицы (А) парных сравнений показана в табл. 7.7.
Таблица 7.7.
Матрица А: парные сравнения
1 2 … j ... n
1
2
…
i
…
n —
x21
xi1
xn1 x12
—
xi2
xn2 x1j
x2j
xij
xnj x1n
x2n
xin
—
Каждый эксперт, заполняющий такую матрицу, должен проставить на пересечении строки и столбца для двух сравниваемых факторов оценку хij. В зависимости от того, является ли фактор i более предпочтительным, чем фактор j, эта оценка равна 1 или 0 соответственно. В главной диагонали такой матрицы проставляются прочерки или нули. Каждая пара факторов может сравниваться единожды или дважды (например, сначала х12, а затем х21 в матрице табл. 7.7). В случае когда факторы сравниваются попарно дважды (полное парное сравнение), общее число сравнений I = п(п — 1); при однократном попарном сравнении
, (7.8)
где п — общее число факторов.
Существуют различные варианты частичного парного сравнения. Так, эксперту могут предложить сравнить заранее сгруппированные пары факторов, где он должен лишь указать наиболее предпочтительный; в этом случае каждый фактор сопоставляется только с каким-либо другим.
Может быть заранее подготовлена матрица частичного парного сравнения, в которой одна группа факторов сопоставляется со всеми другими, тогда как остальные факторы сопоставляются лишь с некоторыми другими.
Метод парных сравнений может быть использован и для установления суммарных рангов факторов. С этой целью факторы, которые должны быть проранжированы, записываются в обычном порядке в левом столбце и в верхней строке матрицы, а затем производится их парное сравнение. Матрица просматривается слева направо. Когда обнаруживается, что фактор, находящийся в левом столбце матрицы, предпочтительнее, чем фактор, помещенный в верхней строке, то в верхнюю часть клетки, образованной пересечением строки и столбца, ставится 1, а в нижнюю — 0. Если фактор, находящийся в верхней строке матрицы, предпочтительнее, чем фактор в левом столбце, то 0 ставится в верхнюю половину клетки, а 1 — в нижнюю. Затем, в зависимости от числа предпочтений, каждому фактору присваивается определенный ранг. Так, в приведенной в качестве примера матрице (табл. 7.8) фактор С получает наивысший ранг - 3, фактор D — ранг 2, фактор А — 1 и фактор В — 0.
Таблица 7.8.
Матрица предпочтений для ранжирования с
помощью парного сравнения
Фактор А B C D Ранг
А 1
0 0
1 0
1 1
В 0
1 0
1 0
1 0
С 1
0 1
0 1
0 3
D 1
0 1
0 0
1 2
В некоторых случаях сначала производится предварительное ранжирование факторов, а затем, с помощью метода парных сравнений, — уточнение их предпочтительности. В конце этого параграфа дан числовой пример такой процедуры. Поскольку обычно в процедуре парного сравнения участвуют несколько экспертов, то сначала каждый из них заполняет матрицу А, а затем полученные индивидуальные предпочтения усредняются с учетом мнений всех экспертов.
На основе этого строится вторая матрица (Р), показывающая процентное отношение случаев, когда фактор i оказывался более значимым, нежели фактору, в общем числе полученных оценок (табл. 7.9).
Элементы матрицы Р обладают тем свойством, что рij = хij/т, где т — число экспертов; кроме того, рij + рji = 1.
Таблица 7.9.
Матрица Р: доля случаев, когда фактор i предпочтительнее
фактора j
Фактор i Фактор j Сумма
ряда
1 2 … j ... n
1
2
…
i
…
n —
p21
pi1
pn1 p12
—
pi2
pn2 p1j
p2j
pij
pnj p1n
p2n
pin
— p1
p2
pi
pn
После получения обобщенной матрицы предпочтений Р, элементы которой рij представляют относительное число предпочтений, полученных от всех экспертов, по каждому фактору перед каждым другим фактором, производится их шкалирование. Шкалирование может быть основано на законе сравнительных суждений, впервые сформулированном Л. Терстоуном. Суть этого подхода состоит в следующем.
Если парное сравнение факторов выполняется относительно большим числом экспертов (т ? 25), то полученные разности между их оценками обладают нормальным распределением.
Пусть т экспертов приписывают п признакам Ri (i1, i2, ..., in) числа Sj (j1 j2,…, jn), в соответствии со степенью обладания ими каким-то качеством X. Тогда числа Sj представляют собой шкальные оценки Ri, а разность между такими оценками двух объектов Ri и Rj (если оценки не коррелируют между собой) можно выразить с помощью модели шкалы
Si - Sj = Zij?ij , (7.9)
где Si, Sj — шкальные оценки факторов;
?ij — среднее квадратическое (стандартное) отклонение предполагаемого распределения различий между Si и Sj,
Zij — нормированное отклонение, соответствующее рij, представляющему долю случаев предпочтения фактора i фактору j, т.е.
Взаимоотношение между Zij и рij иллюстрирует рис. 7.3, где заштрихованная площадь под кривой показывает относительное число предпочтений фактора i фактору j, когда Zij измеряется в единицах стандартного отклонения.
Для упрощения можно принять, что ?ij в формуле (7.9) равно единице, тогда
Si – Sj = Zij
При этом допускается, что площадь под кривой нормированного нормального распределения от - 3? до +3? равна единице.
В действительности реальные оценки отличаются от ожидаемого ряда Zij. Поэтому задача заключается в нахождении множества оценок, для которых это расхождение будет минимальным.
Таким образом, процедура построения шкальных оценок состоит в том, чтобы обратить наблюдаемые отношения рij (матрица Р) в ожидаемые Zij по уравнению (7.11), используя таблицу нормированного нормального распределения. Эти Zij составляют матрицу с двумя входами или матрицу основного преобразования Z, с рядами цифр для каждого фактора i и столбцами цифр для каждого фактора j, как это показано в табл. 7.10.
В матрице Z каждая оценка zij — это различие между параметром i и параметром j в стандартных отклонениях, причем сумма этих оценок Zi = Szi, а среднее значение , , где т — число экспертов.
Таблица 7.10.
Матрица Z: основное преобразование (различия)
Фактор i Фактор j Всего Среднее значение
1 2 3 … j ... n
1
2
3
…
i
…
n —
z21
z31
zi1
zn1 z12
—
z32
zi2
zn2 z13
z23
—
zi2
zn3 z1j
z2j
z3j
zij
znj z1n
z2n
z3n
zin
— Z1
Z2
Z3
Zi
Zn Z?1
Z?2
Z?3
Z?i
Z?n
При этом рij рассматривается как площадь нормированного нормального распределения от - ? до Z Значения функции такого распределения приведены во многих книгах по статистике.
Заметим, что zij логически равно нулю и что zij = - zij. Если любое zij оказывается большим, чем +2,0, или же меньшим, чем —2,0, оно отвергается как нестабильное. Если ни одна из оценок zij не будет отвергнута на основании этого правила, то шкальная оценка фактора i будет равна средней величине всех оценок в i-м столбце данной матрицы. Когда некоторое zij отвергается, то в таблице ставится прочерк. Для каждой пары последовательных столбцов данных необходимо рассчитать разность оценок и поместить ее в отдельную матрицу различий. При этом разница между двумя прочерками или между значением и прочерком считается несущественной, и в матрице различий ставится прочерк. Таким образом, произвольно установив S1 = 0, можно определить остальные шкальные оценки.
Очевидно, что метод парных сравнений является интервальным, поскольку не только шкальный фактор, но и нулевая точка шкалы устанавливаются здесь произвольно.
При большом числе факторов может быть использован другой интервальный метод, называемый методом последовательных интервалов. Здесь принимается, что границы интервалов могут быть установлены так, чтобы все распределения суждений о факторе были нормальными (см. [7.1]).
Представим, что интервалы проранжированы в порядке от наименее до наиболее предпочтительного. Пусть pjg — относительное число экспертов, которые поместили фактор j в интервале g или в любом другом интервале меньшего рангового порядка. Пусть Zjg будет нормированным нормальным отклонением, соответствующим pjg. Тогда
,
где t - граница между интервалами g и g + 1;
Sj — шкальная оценка фактора j;
?j — стандартное отклонение фактора j.
Принимая sj = 1, получим
(7.13)
На рис. 7.4 показано распределение двух признаков с различным стандартным отклонением.
Для получения шкальных оценок S и границ интервалов tg, эксперты должны расположить т факторов в М интервалах (М < т).
Тогда относительное число экспертов, которые поместили фактор j в интервале g или в любом другом интервале меньшего ранга, pjg = я,.. /N.
Затем по таблице нормированного нормального распределения в соответствии с формулой (7.12) для каждого pjg определяется Zjg.
Для получения шкальных оценок и границ интервалов можно использовать и метод обращения полученных из наблюдений величин pjg в Z.g, применяемый при парном сравнении.
Приняв ti = 0, вычисляют с помощью подобных таблиц границы интервалов, а затем конструируется четвертая матрица, значения оценок которой находятся путем вычитания каждой записи g-ro ряда матрицы Zig из полученной оценки tg. Средняя величина ряда в этой матрице — это шкальная оценка соответствующего признака.
Похожие рефераты:
